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第六章 样本及抽样分布

本章主线：前五章研究随机变量及其分布（概率论），从本章起转入数理统计——从实际数据（样本）出发推断总体规律。本章建立数理统计的基本概念：总体（研究对象的某项数量指标 \(X\) 的分布）、个体、简单随机样本（独立同分布的一组 \(X_i\)，其联合分布为各分量分布之积）。然后引入统计量（不含未知参数的样本函数，如样本均值 \(\bar{X}\)、样本方差 \(S^2\)、样本矩、经验分布函数），它们是用样本推断总体的"原材料"。最后给出数理统计中最常用的三个抽样分布——\(\chi^2\) 分布、\(t\) 分布（学生氏分布）、\(F\) 分布——以及正态总体下样本均值与样本方差的四个分布定理，它们是区间估计与假设检验的直接工具。

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  root((第六章<br/>样本及抽样分布))
    6.1 随机样本
      总体与个体
      有限与无限总体
      简单随机样本
      样本的联合分布
    6.2 抽样分布
      统计量
      样本均值与样本方差
      经验分布函数
      chi2分布
      t分布
      F分布
      正态总体四大定理

6.1 随机样本

6.1.1 总体与个体

定义：试验的全部可能的观察值称为总体；总体中的每个可能观察值称为个体。

  • 实例 1：在研究 2000 名学生的年龄时，这些学生的年龄的全体就构成一个总体，每个学生的年龄就是个体。

有限总体和无限总体：

  • 实例 2：某工厂 10 月份生产的灯泡寿命所组成的总体中，个体的总数就是 10 月份生产的灯泡数，这是一个有限总体；而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体，它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命。当有限总体包含的个体的总数很大时，可近似地将它看成是无限总体。

总体分布：

  • 实例 3：在 2000 名大学一年级学生的年龄中，年龄指标值为 15、16、17、18、19、20 的依次有 9、21、132、1207、588、43 名，它们在总体中所占比率依次为 \(\dfrac{9}{2000},\dfrac{21}{2000},\dfrac{132}{2000},\dfrac{1207}{2000},\dfrac{588}{2000},\dfrac{43}{2000}\)，即学生年龄的取值有一定的分布。

一般地，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标 \(X\)，其取值在客观上有一定的分布，\(X\) 是一个随机变量。

总体分布的定义：我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布。如实例 3 中，总体就是数集 \(\{15, 16, 17, 18, 19, 20\}\)，总体分布为

年龄 15 16 17 18 19 20
比率 \(\dfrac{9}{2000}\) \(\dfrac{21}{2000}\) \(\dfrac{132}{2000}\) \(\dfrac{1207}{2000}\) \(\dfrac{588}{2000}\) \(\dfrac{43}{2000}\)

说明 1：一个总体对应一个随机变量 \(X\)，我们将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体 \(X\)。 说明 2：在实际中遇到的总体往往是有限总体，它对应一个离散型随机变量；当总体中包含的个体的个数很大时，在理论上可认为它是一个无限总体。

6.1.2 随机样本的定义

1. 样本的定义：设 \(X\) 是具有分布函数 \(F\) 的随机变量，若 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是具有同一分布函数 \(F\)、相互独立的随机变量，则称 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 为从分布函数 \(F\)（或总体 \(F\)、或总体 \(X\)）得到的容量为 \(n\) 的简单随机样本，简称样本。它们的观察值 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 称为样本值，又称为 \(X\) 的 \(n\) 个独立的观察值。

2. 简单随机抽样的定义：获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样。根据定义得：若 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 为 \(F\) 的一个样本，则 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 的联合分布函数为

\[F^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} F(x_i)\]

又若 \(X\) 具有概率密度 \(f\)，则 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 的联合概率密度为

\[f^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i)\]

简单随机样本的本质：独立且同分布（与总体 \(X\) 同分布）——样本的联合分布是各分量分布的乘积。

例 4（指数总体） 设总体 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\)（\(\lambda > 0\)）的指数分布，\((X_1, X_2, \dots, X_n)\) 是来自总体的样本，求样本 \((X_1, X_2, \dots, X_n)\) 的概率密度。

  • 总体 \(X\) 的概率密度为 \(f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases}\)
  • 因为 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 相互独立，且与 \(X\) 有相同的分布，所以 \((X_1, X_2, \dots, X_n)\) 的概率密度为 \(\(f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \begin{cases} \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}, & x_i > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}\)\)

例 5（两点分布总体） 设总体 \(X\) 服从两点分布 \(B(1, p)\)，其中 \(0 < p < 1\)，\((X_1, X_2, \dots, X_n)\) 是来自总体的样本，求样本 \((X_1, X_2, \dots, X_n)\) 的分布律。

  • 总体 \(X\) 的分布律为 \(P\{X = i\} = p^i(1-p)^{1-i}\)（\(i = 0, 1\)）；
  • 因为 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 相互独立，且与 \(X\) 有相同的分布，所以 \((X_1, X_2, \dots, X_n)\) 的分布律为 \(\(P\{X_1 = x_1, X_2 = x_2, \dots, X_n = x_n\} = P\{X_1 = x_1\}\,P\{X_2 = x_2\} \cdots P\{X_n = x_n\} = p^{\sum_{i=1}^{n} x_i}(1-p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}\)\) 其中 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 在集合 \(\{0, 1\}\) 中取值。

6.2 抽样分布

6.2.1 基本概念

1. 统计量的定义：设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自总体 \(X\) 的一个样本，\(g(X_1, X_2, \dots, X_n)\) 是 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 的函数，若 \(g\) 中不含未知参数，则称 \(g(X_1, X_2, \dots, X_n)\) 是一个统计量。设 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 是相应于样本的样本值，则称 \(g(x_1, x_2, \dots, x_n)\) 是 \(g(X_1, X_2, \dots, X_n)\) 的观察值。

实例 1（判断统计量） 设 \(X_1, X_2, X_3\) 是来自总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的一个样本，其中 \(\mu\) 为已知，\(\sigma^2\) 为未知，判断下列各式哪些是统计量，哪些不是：

  • \(T_1 = X_1\) ✓；\(T_2 = X_1 + X_2 e^{X_3}\) ✓；\(T_3 = \dfrac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)\) ✓；\(T_4 = \max(X_1, X_2, X_3)\) ✓；\(T_5 = X_1 + X_2 - 2\mu\) ✓（\(\mu\) 已知）；\(T_6 = \dfrac{1}{\sigma^2}(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2)\) ✗（含未知参数 \(\sigma^2\)，不是统计量）。

判定要点：统计量中出现的只能是样本的函数与已知常数，不能含未知参数。

2. 几个常用统计量的定义：设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自总体的一个样本，\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 是这一样本的观察值。

  1. 样本平均值：\(\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\)，其观察值 \(\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)；
  2. 样本方差：\(S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 = \dfrac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n\bar{X}^2\right)\)，其观察值 \(s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)；
  3. 样本标准差：\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}\)，其观察值 \(s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)；
  4. 样本 \(k\) 阶（原点）矩：\(A_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^k\)（\(k = 1, 2, \dots\)），其观察值 \(\alpha_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^k\)；
  5. 样本 \(k\) 阶中心矩：\(B_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^k\)（\(k = 2, 3, \dots\)），其观察值 \(b_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^k\)。

注：样本方差用 \(n-1\) 作分母（而非 \(n\)），是为保证 \(S^2\) 是总体方差 \(\sigma^2\) 的无偏估计（见第七章）。

由以上定义得下述结论：若总体 \(X\) 的 \(k\) 阶矩 \(E(X^k)\) 记成 \(\mu_k\) 存在，则当 \(n \to \infty\) 时，

\[A_k \xrightarrow{P} \mu_k, \qquad k = 1, 2, \dots\]

证明：因为 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 独立且与 \(X\) 同分布，所以 \(X_1^k, X_2^k, \dots, X_n^k\) 独立且与 \(X^k\) 同分布，故有 \(E(X_1^k) = E(X_2^k) = \dots = E(X_n^k) = \mu_k\)。再根据第五章辛钦定理知 \(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^k \xrightarrow{P} \mu_k\)（\(k = 1, 2, \dots\)）；由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 \(g(A_1, A_2, \dots, A_k) \xrightarrow{P} g(\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k)\)，其中 \(g\) 是连续函数。

以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据。

3. 经验分布函数：总体分布函数 \(F(x)\) 相应的统计量称为经验分布函数。做法如下：设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是总体 \(F\) 的一个样本，用 \(S(x)\)（\(-\infty < x < +\infty\)）表示 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 中不大于 \(x\) 的随机变量的个数，定义经验分布函数 \(F_n(x)\) 为 \(F_n(x) = \dfrac{1}{n} S(x)\)。对于一个样本值，\(F_n(x)\) 的观察值容易求得（\(F_n(x)\) 的观察值仍以 \(F_n(x)\) 表示）。

实例 2：设总体 \(F\) 具有一个样本值 1, 2, 3，则经验分布函数 \(F_3(x)\) 的观察值为

\[F_3(x) = \begin{cases} 0, & x < 1, \\ \dfrac{1}{3}, & 1 \leq x < 2, \\ \dfrac{2}{3}, & 2 \leq x < 3, \\ 1, & x \geq 3. \end{cases}\]

实例 3：设总体 \(F\) 具有一个样本值 1, 1, 2，则经验分布函数 \(F_3(x)\) 的观察值为

\[F_3(x) = \begin{cases} 0, & x < 1, \\ \dfrac{2}{3}, & 1 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases}\]

一般地：设 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 是总体 \(F\) 的一个容量为 \(n\) 的样本值，先将 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 按自小到大的次序排列并重新编号 \(x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)}\)，则经验分布函数 \(F_n(x)\) 的观察值为

\[F_n(x) = \begin{cases} 0, & x < x_{(1)}, \\ \dfrac{k}{n}, & x_{(k)} \leq x < x_{(k+1)},\; k = 1, 2, \dots, n-1, \\ 1, & x \geq x_{(n)}. \end{cases}\]

格里汶科定理：对于任一实数 \(x\)，当 \(n \to \infty\) 时，\(F_n(x)\) 以概率 1 一致收敛于分布函数 \(F(x)\)，即

\[P\left\{\lim_{n \to \infty} \sup_{-\infty < x < +\infty} |F_n(x) - F(x)| = 0\right\} = 1\]

对于任一实数 \(x\)，当 \(n\) 充分大时，经验分布函数的任一个观察值 \(F_n(x)\) 与总体分布函数 \(F(x)\) 只有微小的差别，从而在实际上可当作 \(F(x)\) 来使用。

6.2.2 常见分布

统计量的分布称为抽样分布。以下三个分布是数理统计中最常用的抽样分布。

1. \(\chi^2\) 分布

设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自总体 \(N(0, 1)\) 的样本，则称统计量 \(\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2\) 服从自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布，记为 \(\chi^2 \sim \chi^2(n)\)。

自由度：指 \(\chi^2 = X_1^2 + \dots + X_n^2\) 中右端包含独立变量的个数。

\(\chi^2(n)\) 分布的概率密度为

\[f(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-y/2}, & y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}\]

证明：因为 \(\chi^2(1)\) 分布即为 \(\Gamma\left(\dfrac{1}{2}, 2\right)\) 分布（标准正态平方即 \(\Gamma\) 分布），又因为 \(X_i \sim N(0, 1)\)，由定义 \(X_i^2 \sim \chi^2(1)\)，即 \(X_i^2 \sim \Gamma\left(\dfrac{1}{2}, 2\right)\)（\(i = 1, 2, \dots, n\)）。因为 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 相互独立，所以 \(X_1^2, X_2^2, \dots, X_n^2\) 也相互独立，根据 \(\Gamma\) 分布的可加性知 \(\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \Gamma\left(\dfrac{n}{2}, 2\right)\)。

性质 1（可加性）：若 \(\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)\)，\(\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)\) 且相互独立，则 \(\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)\)。（此性质可以推广到多个随机变量的情形。）

性质 2（期望与方差）：\(E(\chi^2) = n\)，\(D(\chi^2) = 2n\)。

证明：因为 \(X_i \sim N(0, 1)\)，所以 \(E(X_i^2) = D(X_i) = 1\)；又 \(E(X_i^4) = 3\)（标准正态四阶矩），故 \(D(X_i^2) = E(X_i^4) - [E(X_i^2)]^2 = 3 - 1 = 2\)（\(i = 1, 2, \dots, n\)）。故 \(\(E(\chi^2) = E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = n, \qquad D(\chi^2) = D\left(\sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \sum_{i=1}^{n} D(X_i^2) = 2n\)\)

上 \(\alpha\) 分位点：对于给定的正数 \(\alpha\)（\(0 < \alpha < 1\)），称满足条件

\[P\{\chi^2 > \chi_\alpha^2(n)\} = \int_{\chi_\alpha^2(n)}^{+\infty} f(y)\,dy = \alpha\]

的点 \(\chi_\alpha^2(n)\) 为 \(\chi^2(n)\) 分布的上 \(\alpha\) 分位点。对于不同的 \(\alpha\)、\(n\)，可以通过查表求得（\(\chi^2\) 分布表只详列到 \(n = 45\) 为止）。

例 2（\(\chi^2\) 分位点查表）：\(\chi_{0.025}^2(8) = 17.535\)，\(\chi_{0.975}^2(10) = 3.247\)，\(\chi_{0.1}^2(25) = 34.382\)。

费舍尔（R. A. Fisher）近似：当 \(n > 45\) 时，可以利用近似公式 \(\chi_\alpha^2(n) \approx \dfrac{1}{2}\left(z_\alpha + \sqrt{2n - 1}\right)^2\) 求得 \(n > 45\) 时上 \(\alpha\) 分位点的近似值。例如 \(\chi_{0.05}^2(50) \approx \dfrac{1}{2}(1.645 + \sqrt{99})^2 = 67.221\)，而查详表可得 \(\chi_{0.05}^2(50) = 67.505\)。

2. \(t\) 分布（学生氏分布）

设 \(X \sim N(0, 1)\)，\(Y \sim \chi^2(n)\)，且 \(X\)、\(Y\) 独立，则称随机变量 \(t = \dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}\) 服从自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布，记为 \(t \sim t(n)\)。\(t\) 分布又称学生氏（Student）分布。

\(t(n)\) 分布的概率密度函数为

\[h(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, \qquad -\infty < t < +\infty\]

性质：当 \(n\) 充分大时，其图形类似于标准正态变量概率密度的图形。因为 \(\lim_{n \to \infty} h(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}}\)，所以当 \(n\) 足够大时 \(t\) 分布近似于 \(N(0, 1)\) 分布；但对于较小的 \(n\)，\(t\) 分布与 \(N(0, 1)\) 分布相差很大。

上 \(\alpha\) 分位点：对于给定的 \(\alpha\)（\(0 < \alpha < 1\)），称满足条件 \(P\{t > t_\alpha(n)\} = \int_{t_\alpha(n)}^{+\infty} h(t)\,dt = \alpha\) 的点 \(t_\alpha(n)\) 为 \(t(n)\) 分布的上 \(\alpha\) 分位点。由分布的对称性知 \(t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)\)；当 \(n > 45\) 时，\(t_\alpha(n) \approx z_\alpha\)。

例 3（\(t\) 分位点查表）：\(t_{0.05}(10) = 1.8125\)，\(t_{0.025}(15) = 2.1315\)。

3. \(F\) 分布

设 \(U \sim \chi^2(n_1)\)，\(V \sim \chi^2(n_2)\)，且 \(U\)、\(V\) 独立，则称随机变量 \(F = \dfrac{U/n_1}{V/n_2}\) 服从自由度为 \((n_1, n_2)\) 的 \(F\) 分布，记为 \(F \sim F(n_1, n_2)\)。

\(F(n_1, n_2)\) 分布的概率密度为

\[\psi(y) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot \dfrac{y^{\frac{n_1}{2}-1}}{\left[1 + \frac{n_1 y}{n_2}\right]^{\frac{n_1+n_2}{2}}}, & y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}\]

性质（倒数性质）：根据定义可知，若 \(F \sim F(n_1, n_2)\)，则 \(\dfrac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)\)。

上 \(\alpha\) 分位点：对于给定的 \(\alpha\)（\(0 < \alpha < 1\)），称满足条件 \(P\{F > F_\alpha(n_1, n_2)\} = \int_{F_\alpha(n_1, n_2)}^{+\infty} \psi(y)\,dy = \alpha\) 的点 \(F_\alpha(n_1, n_2)\) 为 \(F(n_1, n_2)\) 分布的上 \(\alpha\) 分位点。

例 4（\(F\) 分位点查表）：\(F_{0.025}(7, 8) = 4.90\)，\(F_{0.05}(14, 30) = 2.31\)。

重要关系式：\(F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \dfrac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}\)。

证明：因为 \(F \sim F(n_1, n_2)\)，所以 \(\(1 - \alpha = P\{F > F_{1-\alpha}(n_1, n_2)\} = P\left\{\frac{1}{F} < \frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1, n_2)}\right\} = 1 - P\left\{\frac{1}{F} \geq \frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1, n_2)}\right\}\)\) 即 \(P\left\{\dfrac{1}{F} > \dfrac{1}{F_{1-\alpha}(n_1, n_2)}\right\} = \alpha\)。因为 \(\dfrac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)\)，所以 \(P\left\{\dfrac{1}{F} > F_\alpha(n_2, n_1)\right\} = \alpha\)，比较后得 \(\dfrac{1}{F_{1-\alpha}(n_1, n_2)} = F_\alpha(n_2, n_1)\)，即 \(F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \dfrac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}\)。

例：\(F_{0.95}(12, 9) = \dfrac{1}{F_{0.05}(9, 12)} = \dfrac{1}{2.80} = 0.357\)。

6.2.3 正态总体的样本均值与样本方差的分布

设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\bar{X}\) 是样本均值，则正态总体的样本均值和样本方差有以下两个重要定理。

定理一：设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\bar{X}\) 是样本均值，则有

\[\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\]

定理二：设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\bar{X}\)、\(S^2\) 分别是样本均值和样本方差，则有

  1. \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)；
  2. \(\bar{X}\) 与 \(S^2\) 独立。

定理三：设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\bar{X}\)、\(S^2\) 分别是样本均值和样本方差，则有

\[\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\]

证明：因为 \(\dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)\)，\(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)，且两者独立，由 \(t\) 分布的定义知 \(\(\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \frac{\dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}/(n-1)}} \sim t(n-1)\)\)

定理四（两正态总体的样本均值差与方差比）：设 \(X_1, X_2, \dots, X_{n_1}\) 与 \(Y_1, Y_2, \dots, Y_{n_2}\) 分别是具有相同方差的两正态总体 \(N(\mu_1, \sigma^2)\)、\(N(\mu_2, \sigma^2)\) 的样本，且这两个样本互相独立。设 \(\bar{X} = \dfrac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1} X_i\)，\(\bar{Y} = \dfrac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2} Y_i\) 分别是这两个样本的均值，\(S_1^2 = \dfrac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1}(X_i - \bar{X})^2\)，\(S_2^2 = \dfrac{1}{n_2-1}\sum_{i=1}^{n_2}(Y_i - \bar{Y})^2\) 分别是这两个样本的方差，则有

  1. \(\dfrac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)\)；
  2. 当 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\) 时，\(\dfrac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)\)，

其中 \(S_w^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\)，\(S_w = \sqrt{S_w^2}\)。

证明：

  1. 由定理二，\(\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1-1)\)，\(\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2-1)\)。由假设 \(S_1^2\)、\(S_2^2\) 独立，则由 \(F\) 分布的定义知 \(\(\frac{(n_1-1)S_1^2}{(n_1-1)\sigma_1^2} \bigg/ \frac{(n_2-1)S_2^2}{(n_2-1)\sigma_2^2} = \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)\)\)
  2. 因为 \(\bar{X} - \bar{Y} \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \dfrac{\sigma^2}{n_1} + \dfrac{\sigma^2}{n_2}\right)\)，所以 \(\(U = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}} \sim N(0, 1)\)\) 又 \(\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n_1-1)\)，\(\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n_2-1)\)，且它们相互独立，故由 \(\chi^2\) 分布的可加性知 \(\(V = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n_1 + n_2 - 2)\)\) 由于 \(U\) 与 \(V\) 相互独立，按 \(t\) 分布的定义， \(\(\frac{U}{\sqrt{V/(n_1 + n_2 - 2)}} = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)\)\)

知识定位与框架衔接

前置知识：第二章的常见分布（尤其正态分布）是定义 \(\chi^2\)、\(t\)、\(F\) 分布的原料；第三章的独立性与第四章的 \(\Gamma\) 分布可加性支撑 \(\chi^2\) 分布推导；第五章的辛钦定理与依概率收敛用于证明样本矩收敛于总体矩；第四章的期望方差性质用于 \(\chi^2\) 分布的期望方差计算。

后置知识：本章是数理统计的起点——样本均值 \(\bar{X}\) 与样本方差 \(S^2\) 是第七章参数估计、第八章假设检验的核心统计量；\(\chi^2\)、\(t\)、\(F\) 三个抽样分布及正态总体的四个定理（\(\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)\)、\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)、\(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\)、方差比 \(\sim F\)）是置信区间、假设检验、方差分析、回归分析中一切检验统计量的分布来源。

故事比喻：可以把"总体"想象成一座巨大的矿山（全部矿石的品位分布），"样本"是从矿山里随机挖出的一小批矿石（独立同分布的几个观测值），"统计量"是把这批矿石加工成能反映整座矿山的"化验指标"（样本均值 ≈ 平均品位，样本方差 ≈ 品位波动）。而 \(\chi^2\)、\(t\)、\(F\) 三个分布，则是"化验指标的尺子"——知道样本来自正态总体时，这些尺子告诉我们化验指标会怎么波动。

四个灵魂问题：

  1. "为什么样本均值用 \(\bar{X}\)、样本方差用 \(S^2\) 两个统计量就够了？" —— 它们是总体期望与方差的最自然估计；样本 \(k\) 阶矩（\(A_k\)）依概率收敛于总体 \(k\) 阶矩（辛钦定理），为矩估计奠基；\(S^2\) 用 \(n-1\) 作分母是为保证无偏性。
  2. "\(\chi^2\)、\(t\)、\(F\) 三个分布从哪来？" —— \(\chi^2\) 是标准正态的平方和；\(t\) 是标准正态除以 \(\sqrt{\chi^2/自由度}\)；\(F\) 是两个 \(\chi^2\) 除以各自自由度之比——三者层层递进，都源于正态样本。
  3. "为什么 \(t\) 分布和标准正态长得像？" —— \(t = \dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\) 用样本标准差 \(S\) 代替了总体标准差 \(\sigma\)；当 \(n\) 很大时 \(S\) 很接近 \(\sigma\)，\(t\) 分布趋于 \(N(0,1)\)；\(n\) 较小时 \(t\) 分布尾部更厚（体现 \(S\) 的随机性带来的不确定性）。
  4. "经验分布函数有什么用？" —— 格里汶科定理保证 \(F_n(x)\) 以概率 1 一致收敛于总体分布函数 \(F(x)\)，即"样本足够多时经验分布 ≈ 总体分布"——这是非参数统计（如 Bootstrap、KS 检验）的理论基础。

本章小结：第六章完成了从概率论到数理统计的过渡——总体与样本的概念、统计量与常用统计量（样本均值、样本方差、样本矩）、经验分布函数及其收敛性（格里汶科定理），加上 \(\chi^2\)、\(t\)、\(F\) 三大抽样分布与正态总体的四大分布定理。这些工具将直接服务于第七章的参数估计与第八章的假设检验。

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PDF 原文：第六章 样本及抽样分布